Estude o sinal de cada uma das seguintes expressões:
(3+x)^22 x+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função racional
f(x)=(3+x)^22x+1
O conteúdo aqui é estudo de sinal de fração: precisamos achar domínio, zeros do numerador e do denominador, e depois combinar os sinais de numerador e denominador em cada intervalo.

Passo 2

Vamos determinar domínio e zeros:
– O denominador exige
2x+1neq 0Longrightarrow xneq -tfrac12,
então o domínio é Rsetminus-tfrac12.
– O numerador é (x+3)^2, que se anula só em
x+3=0Longrightarrow x=-3
Logo temos zero de f em x=-3, e pólo (ponto não definido) em x=-tfrac12.

Passo 3

Analisando o sinal separadamente:
– Numerador (x+3)^2 é sempre >=0 e só vale zero em x=-3. Em qualquer outro x ele é positivo.
– Denominador 2x+1 é negativo para x<-tfrac12 e positivo para x>-tfrac12.
Agora combinamos:
– Em (-infty,-tfrac12), numerador >0 (exceto em -3) e denominador <0, logo f(x)<0.
– Em x=-3, numerador =0 e denominador =2cdot(-3)+1=-5neq0, logo f(-3)=0.
– Em (-tfrac12,infty), numerador >0 e denominador >0, logo f(x)>0.

Resposta

f(x)<0 para x<-tfrac12 (com xneq -3),
f(-3)=0,
f(x)>0 para x>-tfrac12,
e f não está definida em x=-tfrac12.

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