Estude o sinal de cada uma das seguintes expressões:
(3-x)(4 x+1)2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos o sinal da função racional
f(x)=(3 - x),(4x + 1)2x + 1
O conteúdo é análise de sinal de produto e quociente de fatores lineares. Vamos precisar identificar os zeros do numerador e o ponto de descontinuidade do denominador, depois montar um quadro de sinais.

Passo 2

Determinar os pontos críticos:
  • Numerador nulo quando (3 - x)=0 ou (4x + 1)=0, ou seja,
x = 3 e x = -tfrac14
  • Denominador nulo quando 2x + 1=0, ou seja,
x = -tfrac12,
que é ponto proibido na função.

Passo 3

Analisar o sinal de cada fator em função de x:
  • 3 - x é positivo para x<3 e negativo para x>3.
  • 4x + 1 é positivo para x>-tfrac14 e negativo para x<-tfrac14.
  • 2x + 1 é positivo para x>-tfrac12 e negativo para x<-tfrac12.

Passo 4

Montar o quadro de sinais nos intervalos determinados por -infty, -tfrac12, -tfrac14, 3 e +infty:
Para x<-tfrac12:
3 - x>0, 4x+1<0, 2x+1<0 ;Longrightarrow; (+)cdot(-)(-)=(+)
Para -tfrac12<x<-tfrac14:
3 - x>0, 4x+1<0, 2x+1>0 ;Longrightarrow; (+)cdot(-)(+)=(-)
Para -tfrac14<x<3:
3 - x>0, 4x+1>0, 2x+1>0 ;Longrightarrow; (+)cdot(+)(+)=(+)
Para x>3:
3 - x<0, 4x+1>0, 2x+1>0 ;Longrightarrow; (-)cdot(+)(+)=(-)

Resposta

O sinal de f(x) é:
f(x)>0em (-infty,-tfrac12),cup,(-tfrac14,3),
f(x)=0em x=-tfrac14ou x=3,
f(x)<0em (-tfrac12,-tfrac14),cup,(3,infty),
com f não definida em x=-tfrac12.

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