Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
y=1(x-3)^2, de 0 <= x<4

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva
y=1(x-3)^2
no intervalo 0 <= x<4.
O ponto x=3 é singular (denominador nulo), logo trata-se de um problema de integrais impróprias e devemos verificar a convergência em torno de x=3.

Passo 2

Escrevemos a área A como soma de duas integrais impróprias, separando em 0<= x<3 e 3<x<=4:
A = integral0^31(x-3)^2,dx + integral3^41(x-3)^2,dx

Passo 3

Para cada parte, definimos limites:
integral0^31(x-3)^2,dx = limtto3^-integral0^t1(x-3)^2,dx, integral3^41(x-3)^2,dx = limsto3^+integrals^41(x-3)^2,dx

Passo 4

Calculamos a primitiva de tfrac1(x-3)^2. Sabemos que
ddxl(-1x-3r) = 1(x-3)^2,
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integral 1(x-3)^2,dx = -1x-3 + C

Passo 5

Avaliaremos o limite à esquerda em xto3^-:
integral0^31(x-3)^2,dx = limtto3^-l[-1x-3r]0^t = limtto3^-l(-1t-3 + 10-3r)
Quando tto3^-, t-3to0^- e -tfrac1t-3to+infty.
Portanto essa integral diverge para +infty e a área total também.

Resposta

A área é infinita (a integral diverge), logo não existe valor finito para A.

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