Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z)=(z+2) / z e C é
o semicírculo z=2 e^i theta(0 <= theta <= pi);

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCz+2z,dz
onde C é o semicírculo de raio 2 parametrizado por
z(theta)=2e^itheta, 0<=theta<=pi
O conteúdo aqui é integração de funções de variável complexa por parametrização de curvas.

Passo 2

Parametrizamos C por
z(theta)=2e^itheta, dz=2i,e^itheta,dtheta, thetain[0,pi]

Passo 3

Expressamos o integrando em função de theta:
z+2z =1+2z =1+22e^itheta =1+e^-itheta
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z+2z,dz =l(1+e^-ithetar),2i,e^itheta,dtheta =2il(e^itheta+1r),dtheta

Passo 4

Agora integramos de theta=0 a theta=pi:
integral0^pi2il(e^itheta+1r),dtheta =2iintegral0^pie^itheta,dtheta +2iintegral0^pi1,dtheta
Calculemos cada parte:
integral0^pie^itheta,dtheta =l[e^ithetair]0^pi =e^ipi-e^i0i =-1-1i =-2i=2i,
integral0^pi1,dtheta =pi
Portanto
integralCz+2z,dz =2il(2ir)+2il(pir) =4i^2+2ipi =-4+2ipi

Resposta

integralCz+2z,dz = -4 + 2ipi

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