Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z)=(z+2) / z e C é
o círculo z=2 e^i g(0 <= theta <= 2 pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de contorno integralC z+2z , dz, onde C é o círculo definido por z = 2e^itheta para 0 <= theta <= 2pi. Vamos usar conceitos de cálculo complexo, especificamente integração de funções de uma variável complexa ao longo de curvas fechadas no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que queremos integrar: f(z) = z + 2z. Podemos dividir isso em duas partes:
f(z) = zz + 2z = 1 + 2z
Assim, a integral fica:
integralC f(z) , dz = integralC 1 , dz + integralC 2z , dz

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, integralC 1 , dz. Quando integramos uma constante ao longo de uma curva fechada, o resultado é zero. Isso porque estamos basicamente somando um vetor ao longo de um caminho que termina no mesmo ponto onde começou, cancelando-se mutuamente.

Passo 4

Agora, vamos calcular integralC 2z , dz. Sabemos que, para uma curva fechada que envolve o ponto z = 0, a integral de 1z ao longo dessa curva é 2pi i, de acordo com o teorema de Cauchy. Como temos um fator de 2, a integral será:
integralC 2z , dz = 2 times 2pi i = 4pi i

Resposta

Portanto, o valor da integral é 4pi i.

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