Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de
ou dos arcos de
para calcular
é
o círculo
.
o círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de contorno
, onde
é o círculo definido por
para
. Vamos usar conceitos de cálculo complexo, especificamente integração de funções de uma variável complexa ao longo de curvas fechadas no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que queremos integrar:
. Podemos dividir isso em duas partes:
Assim, a integral fica:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro,
. Quando integramos uma constante ao longo de uma curva fechada, o resultado é zero. Isso porque estamos basicamente somando um vetor ao longo de um caminho que termina no mesmo ponto onde começou, cancelando-se mutuamente.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Sabemos que, para uma curva fechada que envolve o ponto
, a integral de
ao longo dessa curva é
, de acordo com o teorema de Cauchy. Como temos um fator de 2, a integral será:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.