Calcule, se existir, a derivada de cada função abaixo.
F(x)=sen(integrala^x 11+sen^2 t d t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=sinl(integrala^x11+sin^2t,dtr)
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivar a integral em relação a x) junto com a Regra da Cadeia (para a composição com a função sin).

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se definimos
G(x)=integrala^x11+sin^2t,dt,
então
G'(x)=11+sin^2x
Aqui usamos que o integrando tfrac11+sin^2t é contínuo, logo a derivada da integral é justamente o valor do integrando em t=x.

Passo 3

Agora aplicamos a Regra da Cadeia em
F(x)=sinl(G(x)r)
Sabemos que ddusin(u)=cos(u). Logo,
F'(x)=cosl(G(x)r)cdot G'(x)

Passo 4

Substituindo G(x) e G'(x) no resultado, obtemos
F'(x)=cosl(integrala^x11+sin^2t,dtr);cdot;11+sin^2x

Resposta

F'(x)=cos!l(integrala^x11+sin^2t,dtr)1+sin^2x

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