1. Suponha que f seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva y=f(x), a curvatura é 0 .

Passo 1

O enunciado diz que f é duas vezes continuamente diferenciável e pede para mostrar que, em um ponto de inflexão da curva y=f(x), a curvatura é zero.
Conteúdo: definição de ponto de inflexão e fórmula da curvatura de uma curva no plano.

Passo 2

Lembrando que um ponto x0 é ponto de inflexão de y=f(x) se há troca de concavidade em x0. Como fin C^2, isso equivale a
labelfpp-zero f''(x0)=0
e o sinal de f''(x) muda ao redor de x0.

Passo 3

A curvatura kappa(x) de uma curva dada por y=f(x) é
kappa(x) = l|f''(x)r|l(1 + [f'(x)]^2r)^3/2

Passo 4

Em x0, por ([fpp-zero]), temos f''(x0)=0. Logo o numerador da expressão de kappa(x0) é zero, enquanto o denominador é positivo (pois 1+[f'(x0)]^2>0). Assim
kappa(x0) = l|0r|l(1 + [f'(x0)]^2r)^3/2 = 0

Resposta

Em um ponto de inflexão x0, a curvatura kappa(x0) é igual a 0.

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