Suponha que seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva , a curvatura é 0 .
Passo 1
O enunciado diz que é duas vezes continuamente diferenciável e pede para mostrar que, em um ponto de inflexão da curva , a curvatura é zero.
Conteúdo: definição de ponto de inflexão e fórmula da curvatura de uma curva no plano.
Passo 2
Lembrando que um ponto é ponto de inflexão de se há troca de concavidade em . Como , isso equivale a
e o sinal de muda ao redor de .
Passo 3
A curvatura de uma curva dada por é
Passo 4
Em x0, por ([fpp-zero]), temos f''(x0)=0. Logo o numerador da expressão de kappa(x0) é zero, enquanto o denominador é positivo (pois 1+[f'(x0)]^2>0). Assim
kappa(x0) = l|0r|l(1 + [f'(x0)]^2r)^3/2 = 0
Resposta
Em um ponto de inflexão x0, a curvatura kappa(x0) é igual a 0.