O círculo osculador de uma curva em um ponto tem o mesmo vetor tangente, vetor normal e curvatura que naquele ponto.
Passo 1
O enunciado afirma que o círculo osculador de uma curva em um ponto apresenta o mesmo vetor tangente , vetor normal e curvatura que a própria curva em . O conteúdo é geometria diferencial de curvas, mais especificamente definição de círculo osculador e propriedades de tangente, normal e curvatura.
Passo 2
Lembrando que para uma curva regular parametrizada por arco- temos o vetor tangente unitário
o vetor normal unitário
e a curvatura
Passo 3
O círculo osculador em P é definido como o círculo de raio rho=1/kappa(P) cujo centro é
O = r(P) + 1kappa(P),N(P)
Por construção, esse círculo passa por r(P) e tem raio rho.
Passo 4
No ponto de contato P, a tangente ao círculo passa pela direção do raio perpendicular a ela, ou seja, é ortogonal ao vetor que liga O a P. Como O!P está ao longo de N(P), a reta tangente ao círculo em P é ortogonal a N(P), portanto coincide com a direção de T(P). Logo, o círculo tem mesmo vetor tangente.
Passo 5
Para o círculo, o vetor normal unitário em P aponta do ponto P para o centro O, isto é, na direção de N(P). Portanto, o círculo osculador compartilha exatamente o mesmo vetor normal da curva em P.
Passo 6
A curvatura de um círculo de raio rho é kapparm circ=1/rho. Como definimos rho=1/kappa(P), segue