1. O círculo osculador de uma curva C em um ponto tem o mesmo vetor tangente, vetor normal e curvatura que C naquele ponto.

Passo 1

O enunciado afirma que o círculo osculador de uma curva C em um ponto P apresenta o mesmo vetor tangente T, vetor normal N e curvatura kappa que a própria curva C em P. O conteúdo é geometria diferencial de curvas, mais especificamente definição de círculo osculador e propriedades de tangente, normal e curvatura.

Passo 2

Lembrando que para uma curva regular parametrizada por arco- s temos o vetor tangente unitário
T(s)=drds,
o vetor normal unitário
N(s)=dT/ds|dT/ds|,
e a curvatura
kappa(s)=|dTds|

Passo 3

O círculo osculador em P é definido como o círculo de raio rho=1/kappa(P) cujo centro é
O = r(P) + 1kappa(P),N(P)
Por construção, esse círculo passa por r(P) e tem raio rho.

Passo 4

No ponto de contato P, a tangente ao círculo passa pela direção do raio perpendicular a ela, ou seja, é ortogonal ao vetor que liga O a P. Como O!P está ao longo de N(P), a reta tangente ao círculo em P é ortogonal a N(P), portanto coincide com a direção de T(P). Logo, o círculo tem mesmo vetor tangente.

Passo 5

Para o círculo, o vetor normal unitário em P aponta do ponto P para o centro O, isto é, na direção de N(P). Portanto, o círculo osculador compartilha exatamente o mesmo vetor normal da curva em P.

Passo 6

A curvatura de um círculo de raio rho é kapparm circ=1/rho. Como definimos rho=1/kappa(P), segue
kapparm circ=1rho=kappa(P),
ou seja, a curvatura coincide.

Resposta

Verdadeiro.

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