Calcule, se existir, a derivada de cada função abaixo.
F(x)=integrala^(integrala^x 11+sen^2 t d t) 11+sen^2 t d t

Passo 1

O enunciado define
F(x)=integrala^l(integrala^x11+sin^2t,dtr)11+sin^2t,dt
e pede F'(x).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais com variável no limite superior, combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função integranda
f(t)=11+sin^2t
e então introduzimos
g(x)=integrala^xf(t),dt
e
H(u)=integrala^uf(t),dt

Passo 3

Com essas definições, note que
F(x)=Hl(g(x)r),
pois o limite superior da integral externa é exatamente u=g(x).

Passo 4

Para derivar F(x)=H(g(x)), aplicamos a regra da cadeia:
F'(x)=H'l(g(x)r)cdot g'(x)

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
H'(u)=f(u),
e também
g'(x)=f(x)

Passo 6

Substituindo em F'(x) e lembrando que f(t)=11+sin^2t, obtemos
F'(x) =fl(g(x)r),f(x) =11+sin^2!l(g(x)r);cdot;11+sin^2x
onde
g(x)=integrala^x11+sin^2t,dt

Resposta

F'(x) =11+sin^2!l(integrala^xtfrac11+sin^2t,dtr);cdot;11+sin^2x

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