Investigue a convergêng das integrais seguintes.
integral0^infty e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede investigar a convergência da integral
integral0^infty e^-x^2,dx,
que é imprópria por se estender até +infty. O conteúdo é de integrais impróprias em intervalo infinito e vamos usar o teste de comparação para mostrar convergência (e, opcionalmente, calcular o valor exato).

Passo 2

Separemos em duas partes:
integral0^infty e^-x^2,dx = integral0^1 e^-x^2,dx + integral1^infty e^-x^2,dx
Na parte de 0 a 1, a função e^-x^2 é contínua e limitada, logo
integral0^1 e^-x^2,dx
é finita (converge).

Passo 3

Na parte de 1 a infty, para x>=1 temos x^2>= x, portanto
e^-x^2<= e^-x
Como é sabido que
integral1^infty e^-x,dx = l[-e^-xr]1^infty = e^-1
converge, pelo teste de comparação temos que
integral1^infty e^-x^2,dx
também converge.

Passo 4

Somando as duas parcelas, concluímos que
integral0^infty e^-x^2,dx
converge (absolutamente).

Passo 5

(Opcional) Cálculo do valor exato. Defina
I = integral0^infty e^-x^2,dx
Então
I^2 = integral0^infty e^-x^2,dx ;times; integral0^infty e^-y^2,dy = integral0^infty!!!integral0^infty e^-(x^2+y^2),dx,dy
Em coordenadas polares no primeiro quadrante,
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta, rin[0,infty),;thetain[0,tfracpi2],
logo
I^2 = integral0^pi/2!!integral0^infty e^-r^2,r,dr,dtheta = l(integral0^pi/2dthetar) l(integral0^inftyr e^-r^2drr)
Fazendo u=r^2, du=2r,dr,
integral0^inftyr e^-r^2dr = 12integral0^inftye^-udu = 12, integral0^pi/2dtheta=pi2
Assim
I^2=pi2cdot12=pi4,
logo
I=raizpi2

Resposta

A integral
integral0^infty e^-x^2,dx
converge (absolutamente) e vale
tfracraizpi2.

Exercícios relacionados