Investigue a convergêng das integrais seguintes.
Passo 1
O enunciado pede investigar a convergência da integral
que é imprópria por se estender até
. O conteúdo é de integrais impróprias em intervalo infinito e vamos usar o teste de comparação para mostrar convergência (e, opcionalmente, calcular o valor exato).
Passo 2
Separemos em duas partes:
Na parte de
a
, a função
é contínua e limitada, logo
é finita (converge).
Passo 3
Na parte de
a
, para
temos
, portanto
Como é sabido que
converge, pelo teste de comparação temos que
também converge.
Passo 4
Somando as duas parcelas, concluímos que
converge (absolutamente).
Passo 5
(Opcional) Cálculo do valor exato. Defina
Então
Em coordenadas polares no primeiro quadrante,
logo
Fazendo
,
,
Assim
logo
Resposta
A integral
converge (absolutamente) e vale
.
converge (absolutamente) e vale