Calcule, se existir, a derivada de
no ponto
. ( 1,0 ponto).
Passo 1
O enunciado define a função
por
e pede a derivada
, se existir. Para verificar diferenciabilidade em
podemos usar as condições de Cauchy–Riemann ou a definição de derivada via quociente de diferença.
Passo 2
Sejam
de modo que
. As condições de Cauchy–Riemann em
exigem
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Em
isso dá
logo
. Assim, as equações de Cauchy–Riemann não se satisfazem e
não é diferenciável em
.
Passo 4
Para reforçar, pelo quociente de diferença temos:
- Ao longo do eixo real
:
- Ao longo do eixo imaginário
, :
Como
, o limite do quociente de diferença depende da direção, logo não existe
.
Resposta
A derivada
não existe.