Calcule, se existir, a derivada de f(z)=x+5 y i no ponto z=0. ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} por
f(z)=f(x+iy)=x+5y\,i,
e pede a derivada f'(0), se existir. Para verificar diferenciabilidade em 0 podemos usar as condições de Cauchy–Riemann ou a definição de derivada via quociente de diferença.

Passo 2

Sejam
u(x,y)=x, \qquad v(x,y)=5y,
de modo que f(z)=u+iv. As condições de Cauchy–Riemann em (0,0) exigem
u_x(0,0)=v_y(0,0) \quad\text{e}\quad u_y(0,0)=-\,v_x(0,0).

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
u_x(x,y)=1, \quad u_y(x,y)=0, \quad v_x(x,y)=0, \quad v_y(x,y)=5.
Em (0,0) isso dá
u_x(0,0)=1, \quad v_y(0,0)=5,
logo u_x(0,0)\neq v_y(0,0). Assim, as equações de Cauchy–Riemann não se satisfazem e f não é diferenciável em 0.

Passo 4

Para reforçar, pelo quociente de diferença temos:
  • Ao longo do eixo real h\in\mathbb{R}:
\frac{f(h)-f(0)}{h} =\frac{h}{h}=1.
  • Ao longo do eixo imaginário h=iy, y\in\mathbb{R}:
\frac{f(iy)-f(0)}{iy} =\frac{5y\,i}{i\,y}=5.
Como 1\neq5, o limite do quociente de diferença depende da direção, logo não existe f'(0).

Resposta

A derivada f'(0) não existe.

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