Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=2-x.
Demonstre, utilizando a definição de limite, que \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=-3.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=2-x
e pede para provar, pela definição de limite, que
\lim_{x\to 5}f(x)=-3.
Para isso vamos usar a definição formal: para todo \varepsilon>0 deve existir \delta>0 tal que, se 0<|x-5|<\delta, então |f(x)-(-3)|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos calculando a distância entre f(x) e -3:
|f(x)-(-3)| = |(2 - x) + 3|.

Passo 3

Simplificando a expressão, obtemos
|(2 - x) + 3| = |5 - x| = |x - 5|.
Portanto controlar |f(x)+3| equivale a controlar |x-5|.

Passo 4

Dado um \varepsilon>0, basta escolher \delta = \varepsilon. Então, sempre que
0<|x-5|<\delta,
segue imediatamente
|f(x)-(-3)| = |x-5| < \delta = \varepsilon.
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Concluímos que
\lim_{x\to 5}f(x)=-3.

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