Demonstre que se
é analítica em uma curva fechada simples
e também no seu interior, e se
é um ponto interior a
, então
a)
ponto
b)
onde
é a derivada de ordem
de
no ponto
; (0,5 ponto)
c) Usando os resultados dos itens anteriores mostre que
, se
e
é o círculo
. (0,5 ponto)
a)
b)
c) Usando os resultados dos itens anteriores mostre que
Passo 1
O enunciado trata da Fórmula Integral de Cauchy e sua generalização: se
é analítica em uma curva fechada simples
e no interior de
, e
está no interior de
, então queremos mostrar
a) ,
b) ,
e c) aplicar isso para para
e
.
a)
b)
e c) aplicar isso para
Passo 2
Para (a), expandimos
em série de Taylor no disco interior a
:
Então
Como em integração de contorno
para todo inteiro
e é
para
, só o termo
(isto é,
) contribui:
Passo 3
Para (b), usamos a mesma expansão:
Agora o único termo que dá potência
é
. Logo
Passo 4
Para (c), considere
Fatoramos em frações parciais:
Então
Aplicando (a) com
e
, temos
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c) for
.
(b)
(c)