Questão 3 (1 ponto cada item). Considere a função
dada por
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos
e
, se houver.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
i) domínio e interceptos;
ii) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos;
iii) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
iv) assíntotas horizontais, verticais e inclinadas;
v) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar álgebra de funções racionais, derivada primeira e segunda, análise de sinais e limites.
i) domínio e interceptos;
ii) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos;
iii) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
iv) assíntotas horizontais, verticais e inclinadas;
v) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar álgebra de funções racionais, derivada primeira e segunda, análise de sinais e limites.
Passo 2
Para encontrar o domínio e interceptos observe que o denominador se escreve
que anula-se em
. Logo
deve ser excluído. Portanto o domínio é
O intercepto com o eixo
dá-se em
:
isto é, o ponto
.
O intercepto com o eixo ocorre quando
, ou seja
, logo
(que pertence ao domínio), dando o ponto
.
O intercepto com o eixo
Passo 3
Para os intervalos de monotonicidade e possíveis extremos calculamos
Analisando o sinal de
:
- Em
, e implica . - Em
, e implica . - Em
, e implica .
Logoé decrescente em , crescente em e decrescente em . Há mudança de crescente para decrescente em , portanto há um máximo local em .
Passo 4
Para concavidade e pontos de inflexão usamos
Como
em todo domínio, o sinal de
é o de
:
- Para
, ⇒ concava para baixo. - Para
, ⇒ concava para cima.
Emmuda o sinal de , logo há ponto de inflexão em
Passo 5
Assíntotas:
- Vertical em
, pois o denominador anula-se aí e - Horizontal em
, pois . - Não há assíntota inclinada (grau do numerador menor que o do denominador).
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- No intervalo
a curva parte de , decresce mantendo-se negativa e vai a quando . - Em
sobe de até o máximo local . - Em
decresce de para quando . - A função é côncava para baixo até
, e para cima depois disso, com ponto de inflexão em . - Interceptos em
e , assíntotas e .
Resposta
i) Domínio:
. Interceptos:
e
.
ii) é decrescente em
, crescente em
, decrescente em
. Máximo local em
.
iii) Concava para baixo em , concava para cima em
. Ponto de inflexão em
.
iv) Assíntota vertical: . Assíntota horizontal:
. Sem assíntota inclinada.
v) Gráfico conforme descrito no esboço qualitativo acima.
ii)
iii) Concava para baixo em
iv) Assíntota vertical:
v) Gráfico conforme descrito no esboço qualitativo acima.