Questão 3 (1 ponto cada item). Considere a função f dada por
f(x)=\frac{x-5}{x^{2}-2 x+1}
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos x e y, se houver.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x-5}{x^{2}-2x+1}
e pede:
i) domínio e interceptos;
ii) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos;
iii) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
iv) assíntotas horizontais, verticais e inclinadas;
v) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar álgebra de funções racionais, derivada primeira e segunda, análise de sinais e limites.

Passo 2

Para encontrar o domínio e interceptos observe que o denominador se escreve
(x-1)^{2}
que anula-se em x=1. Logo x=1 deve ser excluído. Portanto o domínio é
\;(-\infty,1)\cup(1,\infty).
O intercepto com o eixo y dá-se em x=0:
f(0)=\frac{0-5}{0^{2}-2\cdot0+1}=-5,
isto é, o ponto (0,-5).
O intercepto com o eixo x ocorre quando f(x)=0, ou seja x-5=0, logo x=5 (que pertence ao domínio), dando o ponto (5,0).

Passo 3

Para os intervalos de monotonicidade e possíveis extremos calculamos
f'(x) =\frac{(x-1)^{2}-2(x-5)(x-1)}{(x-1)^{4}} =\frac{-(x-1)(x-9)}{(x-1)^{4}} =-\frac{x-9}{(x-1)^{3}}.
Analisando o sinal de f':
  • Em (-\infty,1), (x-1)^{3}<0 e x-9<0 implica f'<0.
  • Em (1,9), (x-1)^{3}>0 e x-9<0 implica f'>0.
  • Em (9,\infty), (x-1)^{3}>0 e x-9>0 implica f'<0.
    Logo f é decrescente em (-\infty,1), crescente em (1,9) e decrescente em (9,\infty). Há mudança de crescente para decrescente em x=9, portanto há um máximo local em x=9.
f(9)=\frac{9-5}{(9-1)^{2}}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}.

Passo 4

Para concavidade e pontos de inflexão usamos
f''(x) =\frac{2(x-13)}{(x-1)^{4}}.
Como (x-1)^{4}>0 em todo domínio, o sinal de f'' é o de x-13:
  • Para x<13, f''(x)<0 ⇒ concava para baixo.
  • Para x>13, f''(x)>0 ⇒ concava para cima.
    Em x=13 muda o sinal de f'', logo há ponto de inflexão em
f(13)=\frac{13-5}{(13-1)^{2}}=\frac{8}{144}=\frac{1}{18}.

Passo 5

Assíntotas:
  • Vertical em x=1, pois o denominador anula-se aí e \displaystyle\lim_{x\to1^\pm}f(x)=-\infty.
  • Horizontal em y=0, pois \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
  • Não há assíntota inclinada (grau do numerador menor que o do denominador).

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • No intervalo (-\infty,1) a curva parte de y\to0^-, decresce mantendo-se negativa e vai a -\infty quando x\to1^-.
  • Em (1,9) sobe de -\infty até o máximo local \bigl(9,\tfrac1{16}\bigr).
  • Em (9,\infty) decresce de \tfrac1{16} para 0^+ quando x\to\infty.
  • A função é côncava para baixo até x=13, e para cima depois disso, com ponto de inflexão em \bigl(13,\tfrac1{18}\bigr).
  • Interceptos em (0,-5) e (5,0), assíntotas x=1 e y=0.

Resposta

i) Domínio: (-\infty,1)\cup(1,\infty). Interceptos: (0,-5) e (5,0).
ii) f é decrescente em (-\infty,1), crescente em (1,9), decrescente em (9,\infty). Máximo local em \bigl(9,\tfrac1{16}\bigr).
iii) Concava para baixo em (-\infty,1)\cup(1,13), concava para cima em (13,\infty). Ponto de inflexão em \bigl(13,\tfrac1{18}\bigr).
iv) Assíntota vertical: x=1. Assíntota horizontal: y=0. Sem assíntota inclinada.
v) Gráfico conforme descrito no esboço qualitativo acima.

Exercícios relacionados