Calcule a integral \int\left(x^{2}+1\right)^{2} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral de (x^2+1)^2 multiplicado por 2x. Isso sugere usar o método de substituição, pois vemos claramente um fator 2x\,dx que pode ser o diferencial de alguma função.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = x^2 + 1.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 2x\,dx.
Logo, o pedaço 2x\,dx no integrando passa a ser du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int (x^2+1)^2\,2x\,dx \;=\;\int u^2\,du.
Agora é só integrar o polinômio em u.

Passo 4

A integral de u^2 é
\int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C.
Voltando à variável x, substituímos u = x^2+1.

Resposta

\frac{(x^2+1)^3}{3} + C

Exercícios relacionados