Faça um resumo (de no máximo duas páginas) sobre a teoria de Funções de uma Variável Complexa (com no mínimo os conteúdos de limite, derivada e integral de Função Complexa).
Passo 1
Neste resumo vamos apresentar os conceitos básicos de funções de uma variável complexa, cobrindo os temas de limite, derivada e integral de função complexa. Precisaremos conhecer o conjunto dos números complexos
, suas operações e a noção de vizinhança em
para definir limite; em seguida, estudaremos o conceito de derivada complexa, as condições de Cauchy–Riemann e o caráter analítico; por fim, abordaremos as integrais de linha no plano complexo e resultados centrais como o Teorema de Cauchy e a Fórmula Integral de Cauchy.
Passo 2
Limites em
generalizam a noção real usando a distância usual em
. Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que sempre que
(com
) então
. Todas as propriedades de limite real (união de limites, soma, produto, quociente) valem em
. A continuidade em
significa
.
Passo 3
A derivada complexa em
é definida por
se esse limite existir independentemente da direção pela qual
aproxima
. A existência deste limite impõe as equações de Cauchy–Riemann: se
, então
em torno de
. Uma função que é diferenciável em todo ponto de uma região aberta é dita analítica (ou holomorfa) nessa região, e nesse caso ela admite desenvolvimento em série de potências localmente.
Passo 4
Para integrar funções complexas consideramos trajetórias (contornos)
e definimos
O Teorema Integral de Cauchy afirma que, se
é analítica numa região simplesmente conexa
e
é laço fechado em
, então
A Fórmula Integral de Cauchy dá, para
interior a
,
e permite obter todas as derivadas por
Resposta
Resumo completo dos conceitos de limite, derivada e integral de funções de variável complexa, incluindo condições de Cauchy–Riemann, analiticidade e os principais teoremas de Cauchy.