(0,5) Faça um resumo (de no máximo duas páginas) sobre a teoria de Funções de uma Variável Complexa (com no mínimo os conteúdos de limite, derivada e integral de Função Complexa).

Passo 1

Neste resumo vamos apresentar os conceitos básicos de funções de uma variável complexa, cobrindo os temas de limite, derivada e integral de função complexa. Precisaremos conhecer o conjunto dos números complexos \mathbb{C}, suas operações e a noção de vizinhança em \mathbb{C} para definir limite; em seguida, estudaremos o conceito de derivada complexa, as condições de Cauchy–Riemann e o caráter analítico; por fim, abordaremos as integrais de linha no plano complexo e resultados centrais como o Teorema de Cauchy e a Fórmula Integral de Cauchy.

Passo 2

Limites em \mathbb{C} generalizam a noção real usando a distância usual em \mathbb{R}^2. Dizemos que
\lim_{z\to z_0}f(z)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |z-z_0|<\delta (com z\neq z_0) então |f(z)-L|<\varepsilon. Todas as propriedades de limite real (união de limites, soma, produto, quociente) valem em \mathbb{C}. A continuidade em z_0 significa \lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).

Passo 3

A derivada complexa em z_0 é definida por
f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},
se esse limite existir independentemente da direção pela qual z aproxima z_0. A existência deste limite impõe as equações de Cauchy–Riemann: se f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y), então
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
em torno de (x,y). Uma função que é diferenciável em todo ponto de uma região aberta é dita analítica (ou holomorfa) nessa região, e nesse caso ela admite desenvolvimento em série de potências localmente.

Passo 4

Para integrar funções complexas consideramos trajetórias (contornos) \gamma\colon [a,b]\to\mathbb{C} e definimos
\int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\gamma'(t)\,dt.
O Teorema Integral de Cauchy afirma que, se f é analítica numa região simplesmente conexa D e \gamma é laço fechado em D, então
\int_\gamma f(z)\,dz = 0.
A Fórmula Integral de Cauchy dá, para z_0 interior a \gamma,
f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz,
e permite obter todas as derivadas por
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz.

Resposta

Resumo completo dos conceitos de limite, derivada e integral de funções de variável complexa, incluindo condições de Cauchy–Riemann, analiticidade e os principais teoremas de Cauchy.

Exercícios relacionados