Calcule, se existir, o limite
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
onde f(x) é dada como abaixo,
© f(x)=1x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limh to 0 f(x+h)-f(x)h
onde
f(x)=1x+2
Isso corresponde diretamente à definição de derivada de uma função. Vamos usar as regras da derivada pela definição de limite.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f(x+h) e montamos o quociente de diferença:
f(x+h)=1(x+h)+2=1x+h+2,
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f(x+h)-f(x)h=1x+h+2-1x+2h

Passo 3

Para simplificar, colocamos as frações no numerador sobre denominador comum:
1x+h+2-1x+2= (x+2)-(x+h+2)(x+h+2)(x+2)

Passo 4

Observando o numerador:
(x+2)-(x+h+2)=-h
Então
f(x+h)-f(x)h =-h(x+h+2)(x+2)cdot1h =-1(x+h+2)(x+2)

Passo 5

Finalmente, tomamos o limite quando hto0. Como xneq-2, temos:
limhto0l(-1(x+h+2)(x+2)r) =-1(x+2)(x+2) =-1(x+2)^2

Resposta

-\nfrac{1}{(x+2)^2}

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