Encontre a curva de intersecção da função f(x, y)=2+x^{2}+y^{2} com o plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede a curva de intersecção entre o gráfico da superfície
z = f(x,y) = 2 + x^2 + y^2
que é um paraboloide, e o plano
z = 4.
Para encontrar essa curva, precisamos achar todos os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Como ambos valem z, igualamos
2 + x^2 + y^2 = 4
e isolamos a parte que envolve x e y:
x^2 + y^2 = 4 - 2 = 2.

Passo 3

A equação
x^2 + y^2 = 2
é a de um círculo de raio \sqrt{2} no plano z = 4. Uma forma de representar parametrizada essa curva é
x = \sqrt{2}\,\cos t,\quad y = \sqrt{2}\,\sin t,\quad z = 4,\quad t \in [0,2\pi).

Resposta

A curva de intersecção é o círculo definido por
\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 = 2,\;z=4 \bigr\},
ou, em forma paramétrica,
x = \sqrt{2}\cos t,\quad y = \sqrt{2}\sin t,\quad z = 4,\quad t\in[0,2\pi).

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