Calcule, se existir, o limite de
quando
tende a
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis,
, quando o ponto
se aproxima de
. Isso envolve o conteúdo de limites em funções de várias variáveis, e para resolver vamos precisar entender como analisar o comportamento da função em diferentes caminhos que chegam ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de
quando
tende a
. Estamos basicamente tentando ver qual valor a função se aproxima à medida que nos movemos cada vez mais perto do ponto
no plano.
Passo 3
Para facilitar essa análise, uma técnica útil é converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
e
. Isso simplifica a expressão da função e nos ajuda a ver como ela se comporta à medida que
(a distância do ponto ao origem) tende a zero.
Passo 4
Vamos reescrever
em coordenadas polares:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Observamos que o resultado depende de
, ou seja, do caminho que escolhemos para chegar ao ponto
. Se o limite depende da direção, então o limite geral não existe.
Passo 7
Vamos verificar com alguns caminhos específicos:
-
Caminho
: - Aqui,
ou , então . - O limite é 1.
- Aqui,
-
Caminho
: - Aqui,
ou , então . - O limite é 0.
- Aqui,
Como obtemos limites diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite da função
quando
tende a
não existe.