Calcule, se existir, o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0), onde:
f(x, y)=x^2 cos (y)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis, f(x, y) = x^2 cos(y)x^2 + y^2 , quando o ponto (x, y) se aproxima de (0, 0). Isso envolve o conteúdo de limites em funções de várias variáveis, e para resolver vamos precisar entender como analisar o comportamento da função em diferentes caminhos que chegam ao ponto (0, 0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0, 0). Estamos basicamente tentando ver qual valor a função se aproxima à medida que nos movemos cada vez mais perto do ponto (0, 0) no plano.

Passo 3

Para facilitar essa análise, uma técnica útil é converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta) . Isso simplifica a expressão da função e nos ajuda a ver como ela se comporta à medida que r (a distância do ponto ao origem) tende a zero.

Passo 4

Vamos reescrever f(x, y) em coordenadas polares:
f(r, theta) = (r cos(theta))^2 cos(r sin(theta))(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2
Simplificando o denominador:
(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2
Então, a função fica:
f(r, theta) = r^2 cos^2(theta) cos(r sin(theta))r^2 = cos^2(theta) cos(r sin(theta))

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando r tende a 0:
limr to 0 f(r, theta) = cos^2(theta) limr to 0 cos(r sin(theta))
Sabemos que limr to 0 cos(r sin(theta)) = cos(0) = 1 , então:
limr to 0 f(r, theta) = cos^2(theta) times 1 = cos^2(theta)

Passo 6

Observamos que o resultado depende de theta , ou seja, do caminho que escolhemos para chegar ao ponto (0, 0). Se o limite depende da direção, então o limite geral não existe.

Passo 7

Vamos verificar com alguns caminhos específicos:
  1. Caminho y = 0 :
    • Aqui, theta = 0 ou pi , então cos^2(theta) = 1 .
    • O limite é 1.
  2. Caminho x = 0 :
    • Aqui, theta = pi2 ou 3pi2 , então cos^2(theta) = 0 .
    • O limite é 0.
Como obtemos limites diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite da função f(x, y) = x^2 cos(y)x^2 + y^2 quando (x, y) tende a (0, 0) não existe.

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