Determine:
  • domínio de f e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
  • as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  • os intervalos onde f é crescente, os intervalos onde f é decrescente e os máximos e mínimos locais de f.
  • os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
  • esboce o gráfico de f e dê sua imagem
  1. f(x)=x-5 cdot arctg(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x-5,arctan(x)
definida em todo o domínio real. Precisamos determinar domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, monotonicidade e extremos locais, concavidade e pontos de inflexão, esboço do gráfico e imagem de f. Para isso vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem, além dos limites em xtopminfty.

Passo 2

Domínio e interceptos. A função arctan(x) está definida para todo xinR, logo
Dom(f)=R
Intercepto em y: basta x=0,
f(0)=0-5,arctan(0)=0,
portanto o ponto de interseção com o eixo y é (0,0). Para o intercepto em x resolveríamos x-5,arctan(x)=0; a solução elementar é x=0, de modo que o ponto de interseção com o eixo x também é (0,0).

Passo 3

Assíntotas. Não há assíntotas verticais porque f é contínua em R. Para horizontais ou oblíquas analisamos
limxto+inftyl(f(x)-xr) =limxto+inftyl[x-5,arctan(x)-xr] =-5cdotpi2=-5pi2,
portanto há a assíntota oblíqua
y=x-5pi2(xto+infty)
Analogamente, para xto-infty, arctan(x)to-pi/2,
limxto-inftyl(f(x)-xr) =-5cdotl(-pi2r)=+5pi2,
e surge a assíntota oblíqua
y=x+5pi2(xto-infty)

Passo 4

Monotonicidade e extremos locais. A derivada primeira é
f'(x)=1-5cdot11+x^2 ;=;(1+x^2)-51+x^2 =x^2-41+x^2
Zeramos f'(x)=0 para x^2-4=0, isto é x=pm2. Como 1+x^2>0 sempre, concluímos:
  • f'(x)>0 se |x|>2: f é crescente em (-infty,-2) e em (2,+infty).
  • f'(x)<0 se -2<x<2: f é decrescente em (-2,2).
Logo há um máximo local em x=-2 e um mínimo local em x=2. Os valores são
f(-2)=-2-5,arctan(-2)=-2+5,arctan(2), f(2)=2-5,arctan(2)

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão. A derivada segunda é
f''(x) =ddxl(1-5(1+x^2)^-1r) =10x,(1+x^2)^-2
Temos f''(x)<0 para x<0 (côncavo para baixo) e f''(x)>0 para x>0 (côncavo para cima). O único ponto onde f''(x)=0 é x=0, que é ponto de inflexão com f(0)=0.

Passo 6

Esboço do gráfico e imagem.
  • O gráfico passa por (0,0), tem máximo local em l(-2,,-2+5,arctan(2)r) e mínimo local em l(2,,2-5,arctan(2)r).
  • É côncavo para baixo até x=0 e côncavo para cima depois de x=0.
  • Apresenta assíntotas oblíquas y=xpm5pi2 conforme xtopminfty.
Como limxto-inftyf(x)=-infty e limxto+inftyf(x)=+infty e f é contínua, a imagem é
f(R)=R

Resposta

Domínio: R.
Interceptos: (0,0).
Assíntotas: oblíquas y=x-5pi2 e y=x+5pi2.
Crescente em (-infty,-2)cup(2,infty), decrescente em (-2,2); máximo local em x=-2, mínimo local em x=2.
Côncavo para baixo em (-infty,0), côncavo para cima em (0,infty); ponto de inflexão em (0,0).
Esboço conforme descrição acima, imagem f(R)=R.

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