Determine:
- domínio de
e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
- as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
- os intervalos onde
é crescente, os intervalos onde
é decrescente e os máximos e mínimos locais de
.
- os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
- esboce o gráfico de
e dê sua imagem
-
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em todo o domínio real. Precisamos determinar domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, monotonicidade e extremos locais, concavidade e pontos de inflexão, esboço do gráfico e imagem de
. Para isso vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem, além dos limites em
.
Passo 2
Domínio e interceptos. A função
está definida para todo
, logo
Intercepto em
: basta
,
portanto o ponto de interseção com o eixo
é
. Para o intercepto em
resolveríamos
; a solução elementar é
, de modo que o ponto de interseção com o eixo
também é
.
Passo 3
Assíntotas. Não há assíntotas verticais porque
é contínua em
. Para horizontais ou oblíquas analisamos
portanto há a assíntota oblíqua
Analogamente, para
,
,
e surge a assíntota oblíqua
Passo 4
Monotonicidade e extremos locais. A derivada primeira é
Zeramos
para
, isto é
. Como
sempre, concluímos:
-
se : é crescente em e em . -
se : é decrescente em .
Logo há um máximo local em
e um mínimo local em
. Os valores são
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão. A derivada segunda é
Temos
para
(côncavo para baixo) e
para
(côncavo para cima). O único ponto onde
é
, que é ponto de inflexão com
.
Passo 6
Esboço do gráfico e imagem.
- O gráfico passa por
, tem máximo local em e mínimo local em . - É côncavo para baixo até
e côncavo para cima depois de . - Apresenta assíntotas oblíquas
conforme .
Como
e
e
é contínua, a imagem é
Resposta
Domínio:
.
Interceptos: .
Assíntotas: oblíquas e
.
Crescente em , decrescente em
; máximo local em
, mínimo local em
.
Côncavo para baixo em , côncavo para cima em
; ponto de inflexão em
.
Esboço conforme descrição acima, imagem .
Interceptos:
Assíntotas: oblíquas
Crescente em
Côncavo para baixo em
Esboço conforme descrição acima, imagem