Você é um engenheiro trabalhando em uma empresa que desenvolve componentes eletrônicos para uma variedade de aplicações. Um dos desafios é manter os componentes dentro de uma faixa de temperatura operacional segura. Um componente específico tem sua temperatura T em graus Celsius ( ${ }^{\circ} \mathrm{C} ) modelada por uma função ^circ C ) modelada por uma função , onde t é o tempo em segundos.
A função , onde t é o tempo em segundos A função pode ser aproximada por uma Série de Taylor centrada em pode ser aproximada por uma Série de Taylor centrada em da seguinte maneira:
da seguinte maneira:
onde T(t)=T(t0)+d Td t(t0) cdot(t-t0)+12 d^2 Td t^2(t0) cdot(t-t0)^2+ldots é a derivada da temperatura em relação ao tempo.
Pergunta 1: Se a temperatura inicial do componente é onde e a taxa de variação da temperatura é é a derivada da temperatura em relação ao tempo Pergunta 1: Se a temperatura inicial do componente é e a taxa de variação da temperatura é no instante segundos, escreva a Série de Taylor para no instante até o segundo termo.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em Série de Taylor de T(t) ao redor de t₀=0 até o segundo termo (ou seja, termo constante e termo linear), sabendo que T(0)=T₀ e T′(0)=5 °C/s.

Passo 2

A fórmula geral da Série de Taylor até o termo linear é:
T(t)=T(t₀)+T'(t₀),(t-t₀)
Aqui t₀=0, T(t₀)=T₀ e T’(t₀)=5.

Passo 3

Substituindo t₀=0 e T’(0)=5 na fórmula obtemos:
T(t)=T₀+5,(t-0)=T₀+5t

Resposta

T(t)=T₀+5t

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