Seja f(x, y)=1x y. Determine fx, fy, fx x, fx y, fy y. Calcule
nabla f(1,1) cdot u
onde u=imath+jmath. Qual a sua interpretação desse número?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = 1xy e precisamos encontrar algumas derivadas parciais dela: fx , fy , fxx , fxy e fyy . Depois, vamos calcular o produto do gradiente de f no ponto (1,1) com o vetor u = imath + jmath . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que chamamos de fx . A derivada parcial em relação a x significa que a gente considera y como uma constante e diferencia f apenas em relação a x .
Então, temos:
f(x, y) = 1xy = x^-1 y^-1
Derivando em relação a x :
fx = partialpartial x ( x^-1 y^-1 ) = -x^-2 y^-1 = -1x^2 y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fy . Aqui, x é considerado constante.
Derivando f em relação a y :
fy = partialpartial y ( x^-1 y^-1 ) = -x^-1 y^-2 = -1x y^2

Passo 4

Com as primeiras derivadas encontradas, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, fxx , que é a derivada de fx em relação a x :
fx = -1x^2 y = -x^-2 y^-1
Derivando em relação a x :
fxx = partialpartial x ( -x^-2 y^-1 ) = 2x^-3 y^-1 = 2x^3 y

Passo 5

Agora, vamos encontrar fxy , que é a derivada de fx em relação a y :
fx = -1x^2 y = -x^-2 y^-1
Derivando em relação a y :
fxy = partialpartial y ( -x^-2 y^-1 ) = x^-2 y^-2 = 1x^2 y^2

Passo 6

Por último, vamos calcular fyy , que é a derivada de fy em relação a y :
fy = -1x y^2 = -x^-1 y^-2
Derivando em relação a y :
fyy = partialpartial y ( -x^-1 y^-2 ) = 2x^-1 y^-3 = 2x y^3

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente de f no ponto (1,1). O gradiente nabla f é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a x e y :
nabla f(x, y) = ( fx, fy )
No ponto (1,1):
fx(1,1) = -11^2 cdot 1 = -1
fy(1,1) = -11 cdot 1^2 = -1
Então:
nabla f(1,1) = (-1, -1)

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar (ou produto interno) do gradiente de f no ponto (1,1) com o vetor u = imath + jmath . O produto escalar é dado por:
nabla f(1,1) cdot u = (-1) cdot 1 + (-1) cdot 1 = -1 -1 = -2

Resposta

O valor de nabla f(1,1) cdot u é -2. Isso significa que, na direção do vetor u , a função f está decrescendo a uma taxa de 2 unidades por unidade de movimento nessa direção.

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