Seja
. Determine
. Calcule
onde
. Qual a sua interpretação desse número?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar algumas derivadas parciais dela:
,
,
,
e
. Depois, vamos calcular o produto do gradiente de
no ponto (1,1) com o vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A derivada parcial em relação a
significa que a gente considera
como uma constante e diferencia
apenas em relação a
.
Então, temos:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
é considerado constante.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Com as primeiras derivadas encontradas, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro,
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Por último, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente de
no ponto (1,1). O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a
e
:
No ponto (1,1):
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto escalar (ou produto interno) do gradiente de
no ponto (1,1) com o vetor
. O produto escalar é dado por:
Resposta
O valor de
é -2. Isso significa que, na direção do vetor
, a função
está decrescendo a uma taxa de 2 unidades por unidade de movimento nessa direção.