Calcule, se existir, os limites das sequências abaixo:
a_{n}=\frac{\sin \left(n^{n}\right)}{1+\sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \frac{\sin\bigl(n^{n}\bigr)}{1+\sqrt{n}}
quando n\to\infty. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de sequência usando o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”), já que sabemos que \sin é limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Como para todo n vale
-1 \le \sin\bigl(n^{n}\bigr) \le 1,
dividindo pelos positivos 1+\sqrt{n} obtemos
-\frac{1}{1+\sqrt{n}} \le a_{n} \le \frac{1}{1+\sqrt{n}}.

Passo 3

Observe que
\lim_{n\to\infty} \biggl(-\frac{1}{1+\sqrt{n}}\biggr) =0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+\sqrt{n}} =0.
Pelo Teorema do Confronto, segue que
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.

Resposta

0

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