Considere a sequência a_{n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{(2 n)^{n}}.
(a) Calcule os primeiros 5 termos da sequência.
(b) Utilizando que j \leq 2 n para todo 2 \leq j \leq 2 n-1, verifique que 0 \leq a_{n} \leq \frac{1}{2 n}.
(c) Conclua que \lim a_{n}=0.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2n)^{n}}
e pede:
– (a) os primeiros cinco termos;
– (b) mostrar que para todo n\ge1 vale
0\le a_{n}\le \frac{1}{2n};
– (c) concluir que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Vamos usar cálculo direto dos produtos e, em (b), a ideia de comparar cada fator ímpar com 2n.

Passo 2

Calcular a_{n} para n=1,2,3,4,5:
Para n=1:
a_{1}=\frac{1}{(2\cdot1)^{1}}=\frac{1}{2}.
Para n=2:
a_{2}=\frac{1\cdot3}{(4)^{2}}=\frac{3}{16}.
Para n=3:
a_{3}=\frac{1\cdot3\cdot5}{(6)^{3}}=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}.
Para n=4:
a_{4}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{(8)^{4}}=\frac{105}{4096}.
Para n=5:
a_{5}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9}{(10)^{5}}=\frac{945}{100000}=\frac{189}{20000}.

Passo 3

Mostramos que 0\le a_{n}\le1/(2n). Como cada fator ímpar do numerador é não negativo, a_{n}\ge0.
Para o lado superior, note que
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) =1\;\times\;\prod_{k=2}^{n}(2k-1)
e para cada k=2,\dots,n vale 2k-1\le2n. Logo
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\;\le\;1\cdot(2n)^{\,n-1}=(2n)^{\,n-1}.
Dividindo por (2n)^{n}, obtém-se
a_{n} =\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{(2n)^{n}} \le\frac{(2n)^{\,n-1}}{(2n)^{n}} =\frac{1}{2n}.

Passo 4

Pelo princípio do confronto, como
0\;\le\;a_{n}\;\le\;\frac{1}{2n} \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0,
segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

(a) \;a_{1}=\tfrac12,\;a_{2}=\tfrac{3}{16},\;a_{3}=\tfrac{5}{72},\;a_{4}=\tfrac{105}{4096},\;a_{5}=\tfrac{189}{20000}.
(b) 0\le a_{n}\le\tfrac{1}{2n}.
(c) \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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