Calcule, se existir, os limites das sequências abaixo:
{0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1, \ldots}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_1=0,\;a_2=1,\;a_3=0,\;a_4=0,\;a_5=1,\;a_6=0,\;a_7=0,\;a_8=0,\;a_9=1,\;\dots
ou seja, a sequência assume só os valores \,0 e \,1, com “1” aparecendo em posições isoladas que formam um padrão. O conteúdo aqui é limites de sequência e, caso não exista limite, calcular \liminf e \limsup.

Passo 2

Observando os índices em que a_n=1:
2, 5, 9, 14, …
as diferenças são
5-2=3,\;9-5=4,\;14-9=5,\dots
ou seja, a diferença aumenta de 1 em 1. Isso sugere que, se chamarmos de n_k o k-ésimo índice em que aparece “1”, então
n_1=2,\quad n_{k+1}-n_k = k+2.

Passo 3

Vamos achar fórmula fechada para n_k. Soma das diferenças até o termo k:
n_k = n_1 + \sum_{j=1}^{k-1}(j+2) =2 + \Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}j\Bigr) +2(k-1) =2 + \frac{(k-1)k}{2} +2k -2 =\frac{k(k+3)}{2}.
Logo
a_n = \begin{cases} 1, &\text{se }n = \dfrac{k(k+3)}{2}\text{ para algum }k\in\mathbb{N},\\\\ 0, &\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 4

Para que \lim_{n\to\infty}a_n = L existisse, todos os a_n teriam que ficar arbitrariamente próximos de um mesmo L. Mas vemos que há infinitos termos iguais a 0 e infinitos termos iguais a 1. Logo não há como escolher um único L que aqueça simultaneamente a “ondulação” entre 0 e 1. Concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_n \quad\text{não existe.}ã

Passo 5

Mesmo sem limite, podemos achar \displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n e \displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n.
Como há sempre zeros depois de cada um, o menor limite de acumulação é
\liminf_{n\to\infty}a_n = 0,
e como aparecem uns de vez em quando, o maior limite de acumulação é
\limsup_{n\to\infty}a_n = 1.

Resposta

Não existe \lim_{n\to\infty}a_n. \displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n = 0 e \displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n = 1.

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