Calcule, se existir, os limites das sequências abaixo:
a_{n}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n}=\Bigl(\frac{n+2}{n+1}\Bigr)^{n}
quando n\to\infty. O conteúdo é limite de sequência e vamos usar a propriedade \displaystyle\lim_{k\to\infty}\bigl(1+\tfrac1k\bigr)^{k}=e.

Passo 2

Note que
\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1},
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a_n=\Bigl(1+\frac{1}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Faça m=n+1. Então n=m-1 e
a_{m-1} =\Bigl(1+\frac{1}{m}\Bigr)^{m-1} =\frac{\bigl(1+\frac{1}{m}\bigr)^{m}}{1+\frac{1}{m}}.
Definindo b_{m}=\bigl(1+\tfrac1m\bigr)^{m}, temos
a_{m-1}=\frac{b_{m}}{1+\frac{1}{m}}.

Passo 4

Sabe-se que \displaystyle\lim_{m\to\infty}b_{m}=e e \displaystyle\lim_{m\to\infty}\bigl(1+\tfrac1m\bigr)=1. Pelo teorema do quociente,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{m\to\infty}a_{m-1} =\frac{\lim_{m\to\infty}b_{m}}{\lim_{m\to\infty}\bigl(1+\tfrac1m\bigr)} =\frac{e}{1}=e.

Resposta

\displaystyle e

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