Calcule, se existir, os limites das sequências abaixo:
a_{n}=\frac{2^{n}}{\cos ^{2}(n)}.

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n
para a sequência \displaystyle a_n=\frac{2^n}{\cos^2(n)}.
O que vamos usar é comparação entre o crescimento exponencial de 2^n e o fato de \cos^2(n) ser uma função limitada.

Passo 2

Como \cos^2(n) é sempre positiva e satisfaz \displaystyle \cos^2(n)\le1
para todo n, segue que
a_n = \frac{2^n}{\cos^2(n)} \;\ge\; 2^n.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}2^n = +\infty.
Pela desigualdade anterior, a_n cresce pelo menos tão rápido quanto 2^n e, portanto, também diverge para +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = +\infty.

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