Verifique que:
\lim n r^{n}=\infty se r \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty}n\,r^n=\infty
sempre que r\ge1. Vamos usar noções básicas de limite de sequência, separando os casos r=1 e r>1.

Passo 2

Caso r=1:
a sequência fica
n\cdot1^n=n,
e é clássico que
\lim_{n\to\infty}n=\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty}n\cdot1^n=\infty.

Passo 3

Caso r>1:
sabemos que
\lim_{n\to\infty}r^n=\infty.
Além disso, para todo n\ge1 vale
n\,r^n \;\ge\;r^n.
Logo, dado qualquer M>0, existe N tal que r^n>M para todo n\ge N. Para esses n temos
n\,r^n\ge r^n>M,
o que mostra que
\lim_{n\to\infty}n\,r^n=\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\,r^n=\infty para todo r\ge1.

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