Calcule, se existir, os limites das sequências abaixo:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr)^{n}.
Este problema pertence ao conteúdo de limites de sequências, em particular à forma clássica
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{x}{n}\Bigr)^{n} = e^{x}.
Vamos usar a transformação pelo logaritmo e o fato de que a função exponencial é contínua.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{n\to\infty} a_{n}
e tomamos o logaritmo natural de a_{n}, obtendo
\ln(a_{n}) = n \,\ln\!\Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr).
Se conseguirmos o limite de \ln(a_{n}), digamos M, então
L = \exp(M)
pela continuidade da exponencial.

Passo 3

Calculamos
\lim_{n\to\infty}n\,\ln\!\Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr).
Usamos a expansão para \ln(1+u) quando u\to0:
\ln(1+u) = u - \tfrac{u^{2}}{2} + o(u^{2}).
Aqui u = \tfrac{2}{n}, logo
\ln\!\Bigl(1 + \tfrac{2}{n}\Bigr) = \tfrac{2}{n} - \tfrac{1}{2}\,\Bigl(\tfrac{2}{n}\Bigr)^{2} + o\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr) = \tfrac{2}{n} - \tfrac{2}{n^{2}} + o\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).
Multiplicando por n, vem
n\,\ln\!\Bigl(1 + \tfrac{2}{n}\Bigr) = 2 - \tfrac{2}{n} + o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) \;\longrightarrow\;2.
Portanto M = 2.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}\ln(a_{n}) = 2 e a exponencial é contínua, concluímos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \exp\Bigl(\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n})\Bigr) = e^{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr)^{n} = e^{2}.

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