Sejam \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} duas sequências de números reais. Verifique se cada um dos itens abaixo é verdadeiro ou falso. Se ele for verdadeiro, justifique. Se ser falso, exiba um contraexemplo.
Se \left\{c a_{n}\right\} é convergente, sendo c \in \mathbb{R} não nulo, então \left\{a_{n}\right\} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dado um número real c\neq0 e a convergência da sequência \{c\,a_{n}\}, sempre segue que \{a_{n}\} converge. O conteúdo usado será a definição de limite de sequência e a propriedade de multiplicação por constante.

Passo 2

Suponha que
\lim_{n\to\infty} c\,a_{n} = L.
Pela definição de limite, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
\bigl|c\,a_{n} - L\bigr| < |c|\,\varepsilon.
Como c\neq0, podemos dividir ambos os lados por |c| sem alterar a desigualdade:
\bigl|a_{n} - \tfrac{L}{c}\bigr| = \frac{1}{|c|}\,\bigl|c\,a_{n} - L\bigr| < \varepsilon.
Isso mostra que \lim_{n\to\infty}a_{n} = L/c, ou seja, \{a_{n}\} converge.

Resposta

Verdadeiro.

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