Sejam \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} duas sequências de números reais. Verifique se cada um dos itens abaixo é verdadeiro ou falso. Se ele for verdadeiro, justifique. Se ser falso, exiba um contraexemplo.
Se \left\{a_{n}\right\} é convergente, então \left\{a_{n+1}\right\} é convergente e \lim a_{n+1}=\lim a_{n}.
Passo 1
O enunciado afirma que, se a sequência \{a_{n}\} converge para algum limite L, então a sequência “deslocada” \{a_{n+1}\} também converge e, além disso,
\lim_{n\to\infty}a_{n+1} = \lim_{n\to\infty}a_{n} = L.
O que precisamos usar é a definição de convergência de sequência: \{a_{n}\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_{n}-L\bigr|<\varepsilon.
Passo 2
Suponha que \{a_{n}\} converge para L. Então dado \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_{n}-L\bigr|<\varepsilon.
Defina
M = \max\{1,\,N-1\}.
Se n\ge M, então n+1\ge N, e portanto
\bigl|a_{n+1}-L\bigr|<\varepsilon.
Isso mostra exatamente que \{a_{n+1}\} converge para o mesmo L. Logo