Calcule, se existir, o produto A B, onde A=\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 2 & 5 \\\\ 2 & 5\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 4 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto de matrizes A e B, onde
A\in\mathbb{R}^{3\times2},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times3}.
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, que exige compatibilidade de dimensões e depois usamos o produto escalar linha–coluna.

Passo 2

Verificamos compatibilidade de dimensões: o número de colunas de A (que é 2) bate com o número de linhas de B (que é 2). Então o produto existe e será uma matriz C=AB de tamanho 3\times3.

Passo 3

A definição do produto manda que, para cada i e j,
C_{ij}=\sum_{k=1}^{2}A_{ik}\,B_{kj}.

Passo 4

Repare que todas as linhas de A são iguais a (2,5). Logo, para qualquer linha i e cada coluna j de B, temos
C_{i1}=2\cdot1+5\cdot2=2+10=12,
C_{i2}=2\cdot2+5\cdot4=4+20=24,
C_{i3}=2\cdot(-1)+5\cdot3=-2+15=13.

Passo 5

Como o cálculo dá o mesmo resultado em qualquer linha de A, as três linhas de C serão idênticas e iguais a (12,24,13).

Resposta

AB = \begin{pmatrix} 12 & 24 & 13\\\\ 12 & 24 & 13\\\\ 12 & 24 & 13 \end{pmatrix}.

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