( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh a que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2},
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade
entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m .
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0 .
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,5 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser impost a sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?

Passo 1

Estamos diante de uma firma que escolhe p_{1} e m para maximizar
\pi(p_{1},m,p_{2})=(p_{1}-c)\bigl[f(p_{1},m)+b\,p_{2}\bigr]-m.
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos calcular as condições de primeira ordem (as derivadas parciais iguais a zero) e, depois, as condições de segunda ordem (definitude negativa do Hessiano).

Passo 2

Derivada parcial de \pi em relação a p_{1}:
\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}} =\bigl[f(p_{1},m)+b\,p_{2}\bigr] +(p_{1}-c)\,\frac{\partial f(p_{1},m)}{\partial p_{1}}.
A condição de primeira ordem \frac{\partial\pi}{\partial p_{1}}=0
\boxed{ f(p_{1},m)+b\,p_{2} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}}(p_{1},m)=0. }

Passo 3

Derivada parcial de \pi em relação a m:
\frac{\partial\pi}{\partial m} =(p_{1}-c)\,\frac{\partial f(p_{1},m)}{\partial m}\;-\;1.
A condição de primeira ordem \frac{\partial\pi}{\partial m}=0 implica
\boxed{ (p_{1}-c)\,f_{m}(p_{1},m)=1. }

Passo 4

Da segunda condição temos
p_{1}-c=\frac{1}{f_{m}(p_{1},m)}.
Como f_{m}>0, segue que p_{1}^{*}-c>0, ou seja, p_{1}^{*}>c.
Além disso, a quantidade demandada ótima é
q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2}) =f(p_{1}^{*},m^{*}) + b\,p_{2}.
Em mercados normais espera-se f>0 e b>0, logo q_{1}>0.

Passo 5

Para ter máximo local estrito precisamos que o Hessiano de \pi seja definido negativo. As segundas derivadas são
\pi_{p_{1}p_{1}} =2\,f_{p_{1}}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}p_{1}},\quad \pi_{mm}=(p_{1}-c)\,f_{mm},\quad \pi_{p_{1}m} =f_{m}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}m}.
A definitude negativa exige
  1. \pi_{p_{1}p_{1}}<0. Como f_{p_{1}}<0 e f_{p_{1}p_{1}}<0 e p_{1}-c>0, isso já vale.
  2. \pi_{mm}<0, o que impõe (p_{1}-c)f_{mm}<0. Como p_{1}-c>0, basta
\boxed{f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0.}
  1. Determinante do Hessiano positivo:
\pi_{p_{1}p_{1}}\;\pi_{mm}\;-\;\bigl(\pi_{p_{1}m}\bigr)^{2}>0.
Isto é,
\bigl[2f_{p_{1}}+(p_{1}-c)f_{p_{1}p_{1}}\bigr]\,(p_{1}-c)\,f_{mm} >\bigl[f_{m}+(p_{1}-c)f_{p_{1}m}\bigr]^{2}.

Resposta

(a) As FOCs são
f(p_{1},m)+b\,p_{2} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}}(p_{1},m)=0,
(p_{1}-c)\,f_{m}(p_{1},m)=1.
Dessas segue p_{1}^{*}-c=1/f_{m}>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2})>0.
(b) Além de \pi_{p_{1}p_{1}}<0 já satisfeita, exige-se
f_{mm}(p_{1}^{*},m^{*})<0
e
\bigl[2f_{p_{1}}+(p_{1}-c)f_{p_{1}p_{1}}\bigr]\,(p_{1}-c)\,f_{mm} >\bigl[f_{m}+(p_{1}-c)f_{p_{1}m}\bigr]^{2}.

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