( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh a que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
onde
é a quantidade demandada pelo bem da firma
é o preço cobrado pela firma
é o gasto com marketing da firma 1 e
é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função
é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente
mede o grau de substitutibilidade
entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por
, onde
. Assim, o lucro da firma 1 é
A firma 1 escolhe o seu preço,
, e o seu gasto com marketing,
, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,5 ponto) Assumindo solução interior,
e
, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de
e de
.
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que (
) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser impost a sobre
?
entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por
(a) (1,5 ponto) Assumindo solução interior,
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que (
Passo 1
Estamos diante de uma firma que escolhe
e
para maximizar
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos calcular as condições de primeira ordem (as derivadas parciais iguais a zero) e, depois, as condições de segunda ordem (definitude negativa do Hessiano).
Passo 2
Derivada parcial de
em relação a
:
A condição de primeira ordem
dá
Passo 3
Derivada parcial de
em relação a
:
A condição de primeira ordem
implica
Passo 4
Da segunda condição temos
Como
, segue que
, ou seja,
.
Além disso, a quantidade demandada ótima é
Além disso, a quantidade demandada ótima é
Em mercados normais espera-se
e
, logo
.
Passo 5
Para ter máximo local estrito precisamos que o Hessiano de
seja definido negativo. As segundas derivadas são
A definitude negativa exige
-
. Como e e , isso já vale. -
, o que impõe . Como , basta
- Determinante do Hessiano positivo:
Isto é,
Resposta
(a) As FOCs são
Dessas segue
e
.
(b) Além de
já satisfeita, exige-se
e