( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh a que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2},
onde
q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma
1, p_{1} é o preço cobrado pela firma
1, m é o gasto com marketing da firma 1 e
p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função
f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente
b>0 mede o grau de substitutibilidade
entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por
c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde
c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m .
A firma 1 escolhe o seu preço,
p_{1}, e o seu gasto com marketing,
m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0 .
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,5 ponto) Assumindo solução interior,
p_{1}^{*}>0 e
m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de
p_{1}^{*}-c e de
q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que (
p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser impost a sobre
\frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?