Dada a matriz A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right), determine, caso exista, A^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar, se existir, a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é a inversão de uma matriz 2\times2, para o qual usamos a fórmula que relaciona o determinante e a matriz adjunta.

Passo 2

Calcular o determinante de A pela regra
\det(A)=a\,d - b\,c
onde, em A=\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr), temos a=1, b=-1, c=0 e d=2. Logo,
\det(A) = 1\cdot 2 - (-1)\cdot 0 = 2.

Passo 3

Como \det(A)=2\neq 0, a matriz A é invertível. A fórmula geral para a inversa de
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
é
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando em A, obtemos
A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -(-1)\\\\ -0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Distributindo o fator \tfrac12 em cada entrada da matriz, fica
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12\\\\ 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12\\\\ 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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