Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
25.
25.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está dentro do lemniscato dado por
e ao mesmo tempo fora do círculo
Para resolver, vamos usar integração em coordenadas polares e identificar os limites angulares onde a região existe.
Passo 2
Para achar os ângulos de interseção entre as curvas, igualamos
a
(obtido de
ao quadrar). Logo,
Isto dá
Passo 3
O lemniscato tem duas “pétalas”, correspondendo a
. A condição adicional de estarmos fora do círculo
exige
, ou seja
. Portanto os ângulos onde ocorre a região procurada são
Passo 4
Em polares, a área de uma região entre
e
é
Aqui
e
, logo
Assim, em cada pétala:
Passo 5
Calculando essa integral:
avaliado de
a
:
Passo 6
Como há duas pétalas idênticas (nos dois intervalos de
), a área total é
Resposta
A área é