Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
25. r^2=8 cos 2 theta, r=2

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro do lemniscato dado por
r^2=8cos2theta
e ao mesmo tempo fora do círculo
r=2
Para resolver, vamos usar integração em coordenadas polares e identificar os limites angulares onde a região existe.

Passo 2

Para achar os ângulos de interseção entre as curvas, igualamos
r^2=8cos2theta
a
r^2=4
(obtido de r=2 ao quadrar). Logo,
4=8cos2theta Longrightarrow cos2theta=tfrac12
Isto dá
2theta=pmtfracpi3+2kpi Longrightarrow theta=pmtfracpi6+kpi

Passo 3

O lemniscato tem duas “pétalas”, correspondendo a cos2theta>=0. A condição adicional de estarmos fora do círculo r=2 exige rmax=raiz8cos2theta>=2, ou seja cos2theta>=tfrac12. Portanto os ângulos onde ocorre a região procurada são
-tfracpi6<=theta<=tfracpi6 e tfrac5pi6<=theta<=tfrac7pi6

Passo 4

Em polares, a área de uma região entre r=rrm in(theta) e r=rrm out(theta) é
A=integraltheta1^theta212l(rrm out^2-rrm in^2r),dtheta
Aqui rrm out=raiz8cos2theta e rrm in=2, logo
rrm out^2-rrm in^2 =8cos2theta-4
Assim, em cada pétala:
Arm pétala =integral-pi/6^pi/612l(8cos2theta-4r),dtheta =integral-pi/6^pi/6l(4cos2theta-2r),dtheta é

Passo 5

Calculando essa integral:
integral!(4cos2theta-2),dtheta =2sin2theta-2theta,
avaliado de -tfracpi6 a tfracpi6:
Arm pétala =l[2sin2theta-2thetar]-pi/6^pi/6 =2l(tfracraiz32-(-tfracraiz32)r) -2l(tfracpi6-(-tfracpi6)r) =2raiz3-tfrac2pi3 é

Passo 6

Como há duas pétalas idênticas (nos dois intervalos de theta), a área total é
Arm total =2l(2raiz3-tfrac2pi3r) =4raiz3-tfrac4pi3

Resposta

A área é
4raiz3-4pi3

Exercícios relacionados