Calcule, se existir, os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y-x}{1-y+\ln y}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y - x}{1 - y + \ln y},
assumindo que y>0 para que \ln y exista. O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Analisando o denominador, note que quando y\to0^+ temos \ln y\to-\infty. Logo
1 - y + \ln y \;\longrightarrow\; -\infty.

Passo 3

No numerador, y - x\to 0 - 0 = 0 quando (x,y)\to(0,0). Portanto o numerador tende a zero.

Passo 4

Como o numerador tende a zero e o denominador tende a menos infinito, uma forma de ver que a razão vai a zero é estimar em valor absoluto. Para y suficientemente pequeno temos |1 - y + \ln y|\ge \tfrac12|\ln y|. Assim
\Bigl|\frac{y - x}{1 - y + \ln y}\Bigr| \le \frac{|y| + |x|}{\tfrac12|\ln y|} =2\,\frac{|y|+|x|}{|\ln y|}\;\longrightarrow\;0,
pois |y|+|x|\to0 e |\ln y|\to\infty.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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