Calcule, se existir, os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} \ln \sqrt{y^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \ln \sqrt{y^{3}-x}.
Estamos lidando com uma composição de funções: primeiro calculamos o limite de g(x,y)=y^{3}-x, depois aplicamos h(t)=\sqrt{t} e finalmente k(u)=\ln u. Como essas funções são contínuas nos pontos de interesse (positivo e não nulo), podemos usar a propriedade de continuidade para “passar o limite para dentro” passo a passo.

Passo 2

Calcular
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \bigl(y^{3}-x\bigr).
Como polinômios em x e y são contínuos,
\lim_{(x,y)\to(2,3)} y^{3} = 3^{3} = 27, \qquad \lim_{(x,y)\to(2,3)} x = 2,
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\lim_{(x,y)\to(2,3)} \bigl(y^{3}-x\bigr) = 27 - 2 = 25.

Passo 3

Agora aplicamos a função h(t)=\sqrt{t}, que é contínua em t=25>0. Assim,
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \sqrt{\,y^{3}-x\,} = \sqrt{\lim_{(x,y)\to(2,3)}\bigl(y^{3}-x\bigr)} = \sqrt{25} = 5.

Passo 4

Por fim, aplicamos a função k(u)=\ln u, contínua em u=5>0. Assim,
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \ln \sqrt{y^{3}-x} = \ln\Bigl(\lim_{(x,y)\to(2,3)} \sqrt{y^{3}-x}\Bigr) = \ln(5).

Resposta

\ln 5

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