Find the directional derivative of the function at the given point in the direction of the vector \mathbf{v}.
f(x, y, z)=x e^{y}+y e^{z}+z e^{x}, \quad(0,0,0), \quad \mathbf{v}=\langle 5,1,-2\rangle

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x e^{y} + y e^{z} + z e^{x}
no ponto (0,0,0) na direção do vetor \mathbf{v}=\langle 5,1,-2\rangle. Para isso vamos usar que a derivada direcional em direção ao vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{y} + z\,e^{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\,e^{y} + e^{z}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = y\,e^{z} + e^{x}.

Passo 3

Avaliando em (0,0,0), em que e^0=1 e x=y=z=0, obtemos
\nabla f(0,0,0) =\bigl(1+0,\,0+1,\,0+1\bigr) =\langle 1,1,1\rangle.

Passo 4

O vetor dado é \mathbf{v}=\langle 5,1,-2\rangle. Seu comprimento é
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{5^{2}+1^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{30}.
O vetor unitário na direção de \mathbf{v} é
\mathbf{u} =\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\Bigl\langle \frac{5}{\sqrt{30}},\,\frac{1}{\sqrt{30}},\,-\frac{2}{\sqrt{30}}\Bigr\rangle.

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(0,0,0) =\nabla f(0,0,0)\cdot \mathbf{u} =\langle 1,1,1\rangle\cdot \Bigl\langle \frac{5}{\sqrt{30}},\frac{1}{\sqrt{30}},-\frac{2}{\sqrt{30}}\Bigr\rangle =\frac{5+1-2}{\sqrt{30}} =\frac{4}{\sqrt{30}}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{\sqrt{30}}

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