Find the directional derivative of the function at the given point in the direction of the vector \mathbf{v}.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), \quad(2,1), \quad \mathbf{v}=\langle-1,2\rangle

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) no ponto (2,1) na direção do vetor \mathbf{v}=\langle -1,2\rangle. Para isso precisamos de dois ingredientes: o gradiente de f em (2,1) e o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) = \Bigl(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\,\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr).
Em seguida avaliamos em (2,1):
\nabla f(2,1) = \Bigl(\frac{2\cdot2}{2^{2}+1^{2}},\,\frac{2\cdot1}{2^{2}+1^{2}}\Bigr) = \Bigl(\frac{4}{5},\,\frac{2}{5}\Bigr).

Passo 3

Calculamos o vetor unitário \mathbf{u} a partir de \mathbf{v}=\langle -1,2\rangle. Primeiro o comprimento de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-1)^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}.
Logo
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \Bigl\langle -\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr\rangle.

Passo 4

A derivada direcional de f em (2,1) na direção \mathbf{u} é o produto escalar \nabla f(2,1)\cdot\mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(2,1) = \Bigl\langle \tfrac{4}{5},\,\tfrac{2}{5}\Bigr\rangle \cdot \Bigl\langle -\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr\rangle = \frac{4}{5}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) + \frac{2}{5}\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr) = 0.

Resposta

A derivada direcional pedida é 0.

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