Calcule, se existir, os seguintes limites
Seja
(a)
(b)
©
(d) Para que números a existe
?
Seja
(b)
©
(d) Para que números a existe
Passo 1
Temos uma função definida em dois pedaços, uma para x racional e outra para x irracional. O conteúdo é cálculo de limites de funções definidas por partes e vamos precisar usar o fato de que os racionais e irracionais são densos em ℝ e o conceito de limite via sequências.
Passo 2
Para verificar se
existe, basta ver que qualquer sequência de pontos racionais que tenda a
e qualquer sequência de pontos irracionais que tenda a
devem levar aos mesmos valores-limite.
Sejam uma sequência racional com
. Então
, logo
Sejam
Sejam
Passo 3
Para que o limite exista, precisamos de
o que implica
ou seja
ou
.
Passo 4
Agora aplicamos aos itens: para
temos limites diferentes (
e
), então não existe; para
ambos dão
; para
ambos dão
.
Resposta
(a) não existe; (b) 1; © 0; (d) existe somente para
ou
.