Calcule, se existir, os seguintes limites
Seja
f(x)= x^2 & se x é racional x^3 & se x é irracional éé
(a) lim x 2 f(x)
(b) lim x 1 f(x)
© lim x 0 f(x)
(d) Para que números a existe lim x a f(x) ?

Passo 1

Temos uma função definida em dois pedaços, uma para x racional e outra para x irracional. O conteúdo é cálculo de limites de funções definidas por partes e vamos precisar usar o fato de que os racionais e irracionais são densos em ℝ e o conceito de limite via sequências.

Passo 2

Para verificar se
limxto af(x) existe, basta ver que qualquer sequência de pontos racionais que tenda a a e qualquer sequência de pontos irracionais que tenda a a devem levar aos mesmos valores-limite.
Sejam xn uma sequência racional com xnto a. Então f(xn)=xn^2, logo
limntoinftyf(xn)=a^2
Sejam yn uma sequência irracional com ynto a. Então f(yn)=yn^3, logo
limntoinftyf(yn)=a^3

Passo 3

Para que o limite exista, precisamos de
a^2 = a^3,
o que implica
a^2(a-1)=0
ou seja a=0 ou a=1.

Passo 4

Agora aplicamos aos itens: para a=2 temos limites diferentes ( 4 e 8), então não existe; para a=1 ambos dão 1; para a=0 ambos dão 0.

Resposta

(a) não existe; (b) 1; © 0; (d) existe somente para a=0 ou a=1.

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