Seja f(x)=|x|-x, para que valores de a existe lim x a f(x) ?

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f(x)=|x|-x e quer saber para quais valores de a existe limxto af(x). Vamos usar conceito de limite e a definição de valor absoluto.

Passo 2

Para aplicar limites, primeiro escrevemos f(x) de forma piecewise usando a definição de valor absoluto:
|x|=x,&x>=0,-x,&x<0
Logo,
f(x)=|x|-x=x-x=0,&x>=0,-x-x=-2x,&x<0

Passo 3

Se a>0, então em torno de a (para x>0) vale f(x)=0. Como é constante nessa vizinhança,
$$
\lim_{x\to a}f(x)=0.$$

Passo 4

Se a<0, em torno de a (para x<0) vale f(x)=-2x, que é uma função polinomial (logo contínua). Assim,
$$
\lim_{x\to a}f(x)=-2a.$$

Passo 5

Se a=0, calculamos os limites laterais:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-2x)=0,limxto0^+f(x)=limxto0^+0=0
Como os dois são iguais (ambos zero), o limite em 0 existe e vale 0.

Resposta

O limite limxto af(x) existe para todo ainR.

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