Seja
, para que valores de a existe
?
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
e quer saber para quais valores de
existe
. Vamos usar conceito de limite e a definição de valor absoluto.
Passo 2
Para aplicar limites, primeiro escrevemos
de forma piecewise usando a definição de valor absoluto:
Logo,
Passo 3
Se
, então em torno de
(para
) vale
. Como é constante nessa vizinhança,
$$
\lim_{x\to a}f(x)=0.$$
Passo 4
Se
, em torno de
(para
) vale
, que é uma função polinomial (logo contínua). Assim,
$$
\lim_{x\to a}f(x)=-2a.$$
Passo 5
Se
, calculamos os limites laterais:
Como os dois são iguais (ambos zero), o limite em
existe e vale
.
Resposta
O limite
existe para todo
.