Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty (2 n)^nn^2 n

Passo 1

A questão pede para verificar se a série infinita
sumn=1^infty (2n)^nn^2n
é convergente ou divergente. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da raiz para séries positivas.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo geral. Note que
(2n)^n = 2^n ;n^n e
n^2n = (n^n)^2 logo
an = (2n)^nn^2n = 2^n,n^nn^2n = 2^nn^n = l(2nr)^n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da raiz: calculamos
limntoinfty raiz[n]an = limntoinfty raiz[n]l(2nr)^n = limntoinfty 2n = 0

Passo 4

Como esse limite é menor que 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, e logo converge.

Passo 5

Portanto, a série
sumn=1^infty (2n)^nn^2n é convergente.

Resposta

Convergente pelo teste da raiz (limite igual a 0 < 1).

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