Resolva as seguintes equações:
x+2=\sqrt{9 x-2}
x+2=\sqrt{9 x-2}
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a equação
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é
. - A igualdade envolve uma raiz quadrada principal
(que sempre retorna um número não negativo). - Preciso encontrar todos os valores de
reais que satisfazem a equação.
Passo 2
Determinar o domínio (condição necessária para a raiz existir):
A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Logo,
A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Logo,
Resolvo essa desigualdade:
Portanto qualquer solução precisa satisfazer
.
Passo 3
Observação sobre sinal: como a raiz quadrada principal
é não negativa, o lado esquerdo
também precisa ser não negativo para poder haver igualdade. Então
Combinando com a condição do radicando
, a restrição final é
(Como
, a condição dominante é
.)
Passo 4
Resolver a equação: como para
no domínio ambos os lados são não negativos, posso elevar ambos os lados ao quadrado sem trocar soluções válidas (atenção: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas, que vou checar depois). Ao quadrar:
Isso dá
Passo 5
Expandir e transformar em uma equação quadrática:
Logo
Passo todos os termos para o mesmo lado:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Resolver a quadrática
, por fatoração. Procuro dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Então:
Portanto as raízes candidatas são
Passo 7
Verificar as candidatas na equação original (checar possíveis raízes extranhas):
- Para
:
Como
,
é solução válida.
- Para
:
Como
,
é solução válida.
Ambas satisfazem também a condição do domínio
.