Resolva as seguintes equações:
x+2=\sqrt{9 x-2}

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a equação
x+2=\sqrt{9x-2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é x.
  • A igualdade envolve uma raiz quadrada principal \sqrt{\,\cdot\,} (que sempre retorna um número não negativo).
  • Preciso encontrar todos os valores de x reais que satisfazem a equação.

Passo 2

Determinar o domínio (condição necessária para a raiz existir):
A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Logo,
9x-2 \ge 0.
Resolvo essa desigualdade:
9x \ge 2 \quad\Rightarrow\quad x \ge \frac{2}{9}.
Portanto qualquer solução precisa satisfazer x \ge \frac{2}{9}.

Passo 3

Observação sobre sinal: como a raiz quadrada principal \sqrt{9x-2} é não negativa, o lado esquerdo x+2 também precisa ser não negativo para poder haver igualdade. Então
x+2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -2.
Combinando com a condição do radicando x \ge \frac{2}{9}, a restrição final é
x \ge \frac{2}{9}.
(Como \frac{2}{9}\approx 0,22 > -2, a condição dominante é x \ge \frac{2}{9}.)

Passo 4

Resolver a equação: como para x no domínio ambos os lados são não negativos, posso elevar ambos os lados ao quadrado sem trocar soluções válidas (atenção: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas, que vou checar depois). Ao quadrar:
(x+2)^2 = \bigl(\sqrt{9x-2}\bigr)^2.
Isso dá
(x+2)^2 = 9x-2.

Passo 5

Expandir e transformar em uma equação quadrática:
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4.
Logo
x^2 + 4x + 4 = 9x - 2.
Passo todos os termos para o mesmo lado:
x^2 + 4x + 4 - 9x + 2 = 0.
Simplificando os termos semelhantes:
x^2 - 5x + 6 = 0.

Passo 6

Resolver a quadrática \,x^2 - 5x + 6 = 0, por fatoração. Procuro dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja -5. Esses números são -2 e -3. Então:
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)=0.
Portanto as raízes candidatas são
x=2 \quad\text{e}\quad x=3.

Passo 7

Verificar as candidatas na equação original (checar possíveis raízes extranhas):
  • Para x=2:
\text{lado esquerdo }=2+2=4,
\text{lado direito }=\sqrt{9\cdot 2 - 2}=\sqrt{18-2}=\sqrt{16}=4.
Como 4=4, x=2 é solução válida.
  • Para x=3:
\text{lado esquerdo }=3+2=5,
\text{lado direito }=\sqrt{9\cdot 3 - 2}=\sqrt{27-2}=\sqrt{25}=5.
Como 5=5, x=3 é solução válida.
Ambas satisfazem também a condição do domínio x\ge \frac{2}{9}.

Resposta

x=2
x=3

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