Verdadeiro ou falso? Justifique!
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}

Passo 1

O enunciado pergunta se a igualdade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} é verdadeira ou falsa e pede justificativa. As informações dadas são apenas a expressão algébrica com os símbolos a e b; não foi dito o que são a e b (números reais, matrizes, operadores, etc.). Vou, então, analisar o que a igualdade significa e em quais contextos ela vale ou não, mostrando os passos para você entender e poder aplicar isso numa prova.

Passo 2

Primeiro vamos entender por que, no caso padrão (quando a e b são números reais ou elementos de um anel comutativo), essa igualdade costuma ser ensinada como uma identidade. A expressão (a+b)^{2} significa multiplicar a+b por ele mesmo, isto é,
(a+b)^{2}=(a+b)(a+b).
Aqui estou só reescrevendo a potência de expoente 2 como um produto para poder distribuir os termos.

Passo 3

Agora usamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. A distributiva diz, em linguagem simples, que multiplicar uma soma por um fator é o mesmo que multiplicar cada parcela e somar os resultados. Aplicando isso ao produto (a+b)(a+b) escrevemos:
(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b).
Isso é simplesmente repartir o produto entre as duas parcelas da soma da esquerda.

Passo 4

Expandimos cada um desses produtos usando a distributiva outra vez:
a(a+b)=a\cdot a + a\cdot b = a^{2}+ab,
b(a+b)=b\cdot a + b\cdot b = ba+b^{2}.
Somando as duas expressões obtemos
(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}.
Até aqui não fiz nenhuma simplificação entre ab e ba; apenas apliquei a distributiva passo a passo.

Passo 5

Para transformar ab+ba em 2ab precisamos da propriedade comutativa da multiplicação, que afirma ab=ba. Em muitos contextos (por exemplo, a e b números reais, racionais ou complexos) vale ab=ba. Se ab=ba, então
ab+ba=ab+ab=2ab,
onde 2ab significa (1+1)\cdot ab ou ab+ab. Substituindo na expressão expandida temos
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
logo, dentro desse contexto (multiplicação comutativa), a igualdade é verdadeira.

Passo 6

Mas atenção — nem todo “produto” é comutativo. Em estruturas não comutativas (por exemplo, matrizes quadradas, operadores lineares em geral, quaternions em certos casos) geralmente ab\neq ba. Nesses casos a expansão correta é
(a+b)^{2}=a^{2}+ab+ba+b^{2},
e não se pode juntar ab+ba em 2ab a não ser que, além disso, ab=ba. Vou dar um contraexemplo concreto com matrizes 2×2 (peguei esses valores para mostrar que a igualdade falha):
Considere
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculando
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Aqui AB\neq BA. Ainda,
A^{2}=0,\qquad B^{2}=0,
portanto
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}=AB+BA=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Mas
A^{2}+2AB+B^{2}=2AB= \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Essas duas matrizes são diferentes, mostrando que a identidade com 2ab é falsa nesse contexto. Conclusão: sem a hipótese de comutatividade a igualdade pode falhar.]

Passo 7

Resumo didático para a prova: ao ver (a+b)^{2}, faça primeiro (a+b)(a+b), expanda por distributiva e lembre-se de só trocar ab+ba por 2ab se você puder assumir que ab=ba (ou seja, que a multiplicação é comutativa no conjunto onde a e b estão). Para números reais é seguro usar a forma a^{2}+2ab+b^{2}. Para matrizes ou outros objetos não comutativos, deixe ab+ba explícito.

Resposta

Verdadeiro, se a e b pertencem a um conjunto com multiplicação comutativa (por exemplo \mathbb{R}); em geral falso (contraexemplo com matrizes, onde surge a^{2}+ab+ba+b^{2} e ab+ba nem sempre é 2ab).

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