Verdadeiro ou falso? Justifique!
Passo 1
O enunciado pergunta se a igualdade
é verdadeira ou falsa e pede justificativa. As informações dadas são apenas a expressão algébrica com os símbolos
e
; não foi dito o que são
e
(números reais, matrizes, operadores, etc.). Vou, então, analisar o que a igualdade significa e em quais contextos ela vale ou não, mostrando os passos para você entender e poder aplicar isso numa prova.
Passo 2
Primeiro vamos entender por que, no caso padrão (quando
e
são números reais ou elementos de um anel comutativo), essa igualdade costuma ser ensinada como uma identidade. A expressão
significa multiplicar
por ele mesmo, isto é,
Aqui estou só reescrevendo a potência de expoente
como um produto para poder distribuir os termos.
Passo 3
Agora usamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. A distributiva diz, em linguagem simples, que multiplicar uma soma por um fator é o mesmo que multiplicar cada parcela e somar os resultados. Aplicando isso ao produto
escrevemos:
Isso é simplesmente repartir o produto entre as duas parcelas da soma da esquerda.
Passo 4
Expandimos cada um desses produtos usando a distributiva outra vez:
Somando as duas expressões obtemos
Até aqui não fiz nenhuma simplificação entre
e
; apenas apliquei a distributiva passo a passo.
Passo 5
Para transformar
em
precisamos da propriedade comutativa da multiplicação, que afirma
. Em muitos contextos (por exemplo,
e
números reais, racionais ou complexos) vale
. Se
, então
onde
significa
ou
. Substituindo na expressão expandida temos
logo, dentro desse contexto (multiplicação comutativa), a igualdade é verdadeira.
Passo 6
Mas atenção — nem todo “produto” é comutativo. Em estruturas não comutativas (por exemplo, matrizes quadradas, operadores lineares em geral, quaternions em certos casos) geralmente
. Nesses casos a expansão correta é
e não se pode juntar
em
a não ser que, além disso,
. Vou dar um contraexemplo concreto com matrizes 2×2 (peguei esses valores para mostrar que a igualdade falha):
Considere
Calculando
Aqui
. Ainda,
portanto
Mas
Essas duas matrizes são diferentes, mostrando que a identidade com
é falsa nesse contexto. Conclusão: sem a hipótese de comutatividade a igualdade pode falhar.]
Passo 7
Resumo didático para a prova: ao ver
, faça primeiro
, expanda por distributiva e lembre-se de só trocar
por
se você puder assumir que
(ou seja, que a multiplicação é comutativa no conjunto onde
e
estão). Para números reais é seguro usar a forma
. Para matrizes ou outros objetos não comutativos, deixe
explícito.
Resposta
Verdadeiro, se
e
pertencem a um conjunto com multiplicação comutativa (por exemplo
); em geral falso (contraexemplo com matrizes, onde surge
e
nem sempre é
).