Calcule, se existir, o valor do limite:
\lim _{x \rightarrow-3}\left(\frac{x^{2}+2 x-3}{x(x+3)}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to -3}\frac{x^{2}+2x-3}{x(x+3)}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificação de fator comum.

Passo 2

Fatore o numerador x^{2}+2x-3. As raízes são x=1 e x=-3, logo
x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3).
Substituindo na expressão original, para x\neq -3, temos
\frac{x^{2}+2x-3}{x(x+3)} =\frac{(x-1)(x+3)}{x(x+3)} =\frac{x-1}{x}.

Passo 3

Agora calculamos o limite da função simplificada:
\lim_{x\to -3}\frac{x-1}{x} =\frac{-3-1}{-3} =\frac{-4}{-3} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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