Calcule, se existir, o valor do limite:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{2-x}.
Esse é um limite que, ao substituir x=2, dá a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do numerador.

Passo 2

Verificamos a substituição direta: \sqrt{2+2}-2=0 e 2-2=0, logo a expressão é 0/0. Precisamos reescrever o quociente para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é \sqrt{x+2}+2:
\frac{\sqrt{x+2}-2}{2-x} \;\cdot\; \frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{(\sqrt{x+2})^2 - 2^2}{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x+2 - 4}{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x-2}{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)}.

Passo 4

Observamos que x-2 = -(2-x). Substituindo, fica
\frac{x-2}{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{-(2-x)}{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)} = -\,\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}.
Agora a expressão não é mais indeterminada quando x\to 2.

Passo 5

Basta então avaliar em x=2:
-\,\frac{1}{\sqrt{2+2}+2} = -\,\frac{1}{2+2} = -\frac{1}{4}.

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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