( 1,0 ponto) Determine as assíntotas horizontal e vertical do gráfico da função f(x)=\frac{x+4}{x}.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas vertical e horizontal da função
f(x)=\frac{x+4}{x}.
Para isso, vamos usar dois conceitos básicos:
  1. Assíntota vertical em x=a ocorre se \displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty.
  2. Assíntota horizontal em y=L ocorre se \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L e/ou \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=L.

Passo 2

Identificamos que a função tem denominador zero em x=0. Logo só pode haver assíntota vertical em x=0. Para confirmar, vemos o comportamento de f quando x se aproxima de zero:
f(x)=\frac{x+4}{x} =1+\frac{4}{x}.
Então
\lim_{x\to 0^+}f(x) =\lim_{x\to 0^+}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)=+\infty, \quad \lim_{x\to 0^-}f(x) =\lim_{x\to 0^-}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)=-\infty.
Isso confirma a assíntota vertical x=0.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, calculamos o limite de f(x) quando x\to\pm\infty. Como
f(x)=1+\frac{4}{x},
temos
\lim_{x\to\infty}f(x) =\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)=1, \quad \lim_{x\to -\infty}f(x) =\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)=1.
Portanto a linha y=1 é assíntota horizontal nos dois extremos.

Resposta

A assíntota vertical é x=0 e a assíntota horizontal é y=1.

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