Calcule, se existir, o valor do limite:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{sen}(4 x)}{5 x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{5x}.
O conteúdo principal é limite de função trigonométrica, usando o limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Para aproveitar o limite fundamental, definimos u=4x. Então
\frac{\sin(4x)}{5x} =\frac{\sin(u)}{5x} =\frac{\sin(u)}{u}\,\frac{u}{5x} =\frac{\sin(u)}{u}\,\frac{4x}{5x} =\frac{\sin(u)}{u}\,\frac{4}{5}.

Passo 3

Quando x\to 0, temos u=4x\to 0. Pelo limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}=1,
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\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{5x} =1\cdot\frac{4}{5} =\frac{4}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}

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