Dada a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{rlr}x, & \text { se } & x<1 \\\\ 2, & \text { se } & 1 \leq x \leq 4 \\\ x / 2, & \text { se } & x>4\end{array}\right..
( 1,0 ponto) Mostre que f é continua em x=4

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)= \begin{cases} x, & \text{se }x<1,\\\\ 2, & \text{se }1\le x\le4,\\\ x/2, & \text{se }x>4. \end{cases}
O conteúdo aqui é continuidade de função em ponto. Para mostrar que f é contínua em x=4, vamos calcular o limite à esquerda, o limite à direita e comparar esses valores com f(4).

Passo 2

Cálculo do limite pela esquerda em x=4. Quando x\to4^-, caímos no ramo em que 1\le x<4, logo
f(x)=2.
Portanto,
\lim_{x\to4^-}f(x)=2.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita em x=4. Quando x\to4^+, usamos o ramo f(x)=x/2. Assim,
\lim_{x\to4^+}f(x) =\lim_{x\to4^+}\frac{x}{2} =\frac{4}{2} =2.

Passo 4

Valor da função em x=4: como 4 pertence ao intervalo [1,4], temos
f(4)=2.
Como
\lim_{x\to4^-}f(x) =\lim_{x\to4^+}f(x) =f(4) =2,
concluímos que f é contínua em x=4.

Resposta

A função f é contínua em x=4.

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