1. Um engenheiro civil está projetando a profundidade de escavação para os alicerces de um edifício. A profundidade Z (em metros) é uniformemente distribuída entre 10 e 15 metros.
    (a) Qual é a probabilidade de que a profundidade esteja entre 12 m e 14 m ?
    (b) Calcule o valor esperado (média) da profundidade.
    (c) Calcule a variância da profundidade.

Passo 1

O enunciado diz que a profundidade Z é uniformemente distribuída em [10,15]. Vamos usar as fórmulas do modelo uniforme contínuo:
P(a \le Z \le b) = \frac{b - a}{\theta_2 - \theta_1},
E[Z] = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2},
\mathrm{Var}(Z) = \frac{(\theta_2 - \theta_1)^2}{12},
onde \theta_1 = 10 e \theta_2 = 15.

Passo 2

Para a probabilidade de 12 m a 14 m aplicamos
P(12 \le Z \le 14) = \frac{14 - 12}{15 - 10} = \frac{2}{5} = 0,4.

Passo 3

O valor esperado de Z é
E[Z] = \frac{10 + 15}{2} = 12,5.

Passo 4

A variância de Z é
\mathrm{Var}(Z) = \frac{(15 - 10)^2}{12} = \frac{25}{12} \approx 2,0833.

Resposta

(a) 0,4
(b) 12,5
(c) \frac{25}{12}\approx2,0833

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